Parabolic Hitchin connection

Connexion de Hitchin parabolique Soit C/S une famille lisse de courbes projectives complexes de genre g>1 paramètrées par une variété complexe S et prenons une famille de diviseurs de degrés relatifs N donnés par N sections différentes de la famille C/S. Pour un type parabolique fixe on associe l'espace de module relatif à S des fibrés vectoriels paraboliques de rang-r de type ce parabolique et de déterminant fixe. Cet espace de module est muni d'une polarisation donnée par Θ_par le fibré déterminant parabolique (dépendant du type parabolique ). Dans cette thèse nous étudions l'existence d'une connexion projective que nous appelons connexion de Hitchin sur l'image direct de Θ_par sur S, avec des techniques algébro-géométrique. L'outil principal est la notion des opérateurs de la Chaleur en géométrie algébrique introduite par van Geemen et de Jong. On prend la partie quadratique du système de Hitchin parabolique ρ_par que l'on appelle symbole parabolique (qui ne dépend que du type quasi-parabolique et non des poids). Nous prouvons qu'il est invariant sous les modifications de Hecke et qu'il satisfait le critère de Van Geemen De & Jong donc il se relève a un opérateur de chaleur a valeur dans Θ_par de symbole ρ_{par}. Donc on obtient une connexion projective sur le poussé en avant de Θ_par sur S, qui s'avère être une connexion plate.Pour ce faire nous définissons deux suites exacte de type Atiyah dans le contexte des fibrés parabolique qui nous permettent de démontrer un théorème de déformation pour des courbes marquées munies d'un fibré vectoriel quasi-parabolique. On obtient donc une factorisation du Kodaira-Spencer de la famille des espaces de modules des fibrés paraboliques le long du Kodaira-Spencer de la famille des courbes marquées C/S et une description de la classe Atiyah des pull-backs des fibrés déterminants sous les applications d'oublies vers les espaces des module des fibrés vectoriels semi-stables de rang-r et déterminant fixe. L'ingrédient clef pour conclure est la décomposition du fibré déterminant parabolique Θ_par et du fibré canonique.