Arithmetic constructions of thin representations in higher rank Teichmüller spaces

Constructions arithmétiques de représentations fines dans les espaces de Teichmüller supérieurs Dans cette thèse, nous construisons des sous-groupes de surface Zariski-denses dans certains réseaux en rang supérieurs. Plus précisément, nous exhibons une infinité de classes de commensurabilité de réseaux à la fois uniformes et non-uniformes de SL(n,R), SO(k+1,k), Sp(2n,R) et G2 qui contiennent les images de représentations dans des espaces de Teichmüller de rang supérieur. Dans la première partie, nous construisons des représentations Hitchin dont l'image est dans un réseau. Un de nos résultats principaux est la classification des réseaux qui contiennent l'image d'une représentation Fuchsienne. La preuve repose sur la classification des formes des groupes algébriques via la cohomologie de Galois non-abélienne. Une déformation par ``pliage" nous permet ensuite de construire des sous-groupes de surface Zariski-dense dans ces réseaux, et en utilisant le Théorème d'Approximation Forte nous montrons que ces déformations donnent une infinité d'orbites par le mapping class group de représentations Hitchin Zariski-denses avec image dans ces réseaux. Comme corollaire, combiné avec Long-Thistlethwaite qui traîte le cas SL(p,Z), nous obtenons que tous les réseaux non-uniformes de SL(p,R) , où p est premier et impair, admettent des représentations Hitchin Zariski-denses. En outre, tout réseau de Sp(2n,R), excepté Sp(2n,Z), contient des représentations Hitchin Zariski-denses. Avec Long-Thistlethwaite pour le cas Sp(4,Z), cela implique que tout réseau de Sp(4,Z) contient des sous-groupes de surface Zariski-denses. Des résultats similaires sont valables pour SO(k+1,k) et G2. Dans la deuxième partie, nous appliquons les idées ci-dessus aux représentations maximales dans Sp(2n,R) et classifions les réseaux qui contiennent l'image d'une représentation diagonale maximale. Nous montrons ensuite que tout réseau de Sp(2n,R), excepté Sp(2n,Z) quand n est impair, contient une infinité d'orbites par le mapping class group de représentations maximales Zariski-denses qui ne sont pas Hitchin. En particulier, Sp(4k,Z) admet des sous-groupes de surface Zariski-denses pour tout k.