Inégalités de type Trudinger-Moser et applications

Cette thèse porte sur quelques inégalités de type Trudinger-Moser et leurs applications à l'étude des injections de Sobolev qu'elles induisent dans les espaces d'Orlicz et à l'analyse d'équations aux dérivées partielles non linéaires à croissance exponentielle.Le travail qu'on présente ici se compose de trois parties. La première partie est consacrée à la description du défaut de compacité de l'injection de Sobolev 4D dans l'espace d'Orlicz dansle cadre radial.L'objectif de la deuxième partie est double. D'abord, on caractérise le défaut de compacité de l'injection de Sobolev 2D dans les différentes classes d'espaces d'Orlicz. Ensuite, on étudiel'équation de Klein-Gordon semi-linéaire avec non linéarité exponentielle, où la norme d'Orlicz joue un rôle crucial. En particulier, on aborde les questions d'existence globale, de complétude asymptotique et d'étude qualitative.Dans la troisième partie, on établit des inégalités optimales de type Adams, en étroite relation avec les inégalités de Hardy, puis on fournit une description du défaut de compacité des injections de Sobolev qu'elles induisent