Processus cinétiques dans les domaines à bord et quasi-stationnarité

Cette thèse est décomposée en trois parties chacune portant sur des interrogations reliées à l’étude du processus de Langevin, décrit en tout temps comme un vecteur (position, vitesse). Nous nous plaçons ici en dimension quelconque et l’étude menée se fera en combinant outils probabilistes et outils plus analytiques. La première partie se concentre sur l’extension de certains résultats de la théorie parabolique sur des domaines bornés à la théorie dégénérée associée à l’opérateur de Fokker-Planck cinétique sur une domaine D borné suivant certaines coordonnées de position uniquement. Nous obtenons dans cette partie l’existence et l’unicité de solutions classiques à l’équation de Fokker-Planck cinétique sur le domaine D. Nous obtenons également une inégalité d’Harnack ainsi qu’un principe du maximum associés à l’opérateur de Fokker-Planck cinétique. Finalement, nous obtenons un résultat de compacité dans l’ensemble des fonctions continues bornés dans du semi-groupe du processus de Langevin absorbé au bord de D . .Ces résultats s’avéreront utiles dans la deuxième partie pour prouver notamment l’existence d’une unique distribution quasi-stationnaire pour le processus de Langevin dans le domaine D. Nous aurons alors également une convergence de la loi du processus conditionné à rester dans D durant [0,t], lorsque t tend vers l’infini., vers la DQS. Nous étudierons également la DQS obtenue et expliciterons son comportement limite lorsque le paramètre de friction dans l’équation de Langevin tend vers l’infini. Finalement, nous considérerons dans la dernière partie une chaîne de Markov construite à partir des entrées/sorties successives du processus de Langevin dans par un domaine. Nous étudierons alors la stationnarité de la chaîne de Markov obtenue