Processus ponctuels déterminantaux associés à la hiérarchie discrète de Painlevé II et au processus de Pearcey

Cette thèse vise à présenter des résultats nouveaux concernant le processus de Pearcey et la hiérarchie discrète de Painlevé II. Ces processus ont tous deux des interprétations en termes de processus ponctuels déterminantaux et de problèmes de RiemannHilbert. Après avoir rappelé les résultats classiques sur les processus ponctuels et les problèmes de Riemann-Hilbert, nous présentons, d’une part la hiérarchie discrète de Painlevé II, son lien avec les partitions aléatoires d’entier et les polynômes orthogonaux, d’autre part le processus de Pearcey et sa fonction génératrice. Concernant la hiérarchie discrète de Painlevé II, cette thèse est l’occasion de présenter une nouvelle paire de Lax associée à cette hiérarchie d’équations discrètes. Ce résultat s’appuie sur le lien entre partitions aléatoires d’entier, déterminants de Toeplitz et polynômes orthogonaux. De cette paire de Lax il est alors possible de déterminer un opérateur récursif permettant de calculer la N-ième équation de la hiérarchie. En ce qui concerne le processus de Pearcey, via l’étude d’un problème de Riemann-Hilbert associé à un opérateur intégrable, nous présentons une formule “à la Tracy-Widom” pour décrire la fonction génératrice du processus.