Wavelet-based representations of point processes for modelling and statistical learning

Représentations en ondelettes de processus ponctuels pour la modélisation et l'apprentissage statistique Cette dissertation présente une classe de représentations de processus ponctuels. Inspirés par le succès des méthodes d’ondelettes en traitement du signal, ces descripteurs sont basés sur la convolution d’un processus ponctuel avec une famille d’ondelettes. À partir de ces convolutions sont construits des ensembles de descripteurs statistiques de processus ponctuels stationnaires, en appliquant des opérateurs non linéaires, suivis d’un moyennage spatial. Tout comme les caractéristiques classiques pour les processus ponctuels, ces statistiques sont conçues pour extraire les informations contenues dans le processus en un nombre relativement faible de valeurs numériques, en décrivant sa géométrie. Leur but est de décrire la façon dont les atomes du processus ont tendance à se repousser, ou bien se regrouper, et de la sorte former des formes géométriques complexes. De par leur construction, ces descripteurs bénéficient de plusieurs propriétés qui les rendent adaptés à des tâches d’apprentissage et d’analyse statistique. Afin d’illustrer la qualité de ces représentations en tant que descripteurs statistiques, nous étudions plusieurs problèmes impliquant l’analyse statistique de processus ponctuels. Dans une première expérience, nous cherchons à estimer une fonction inconnue qui prend en argument une configuration de points, et renvoie une version marquée de cette configuration, c’est-à-dire pour laquelle une valeur numérique est associée à chaque atome de la configuration. Nous utilisons une représentation en ondelettes de ces configurations pour estimer la relation entre leurs versions non marquées et marquées. Dans un second temps, nous étudions la capacité de ces descripteurs à modéliser certaines distributions de processus ponctuels, en définissant un modèle de maximum d’entropie défini par des statistiques d’ondelettes, calculées sur une unique observation. Pour ces deux problèmes, nous observons que les représentations que l’on propose amènent de meilleures performances que les statistiques classiques couramment utilisées dans la littérature sur les processus ponctuels. Enfin, pour étudier à quel point de telles représentations peuvent capturer les structures géométriques présentes dans les textures, nous définissons un modèle de maximum d’entropie qui s’appuie sur des statistiques d’ondelettes similaires, produisant des synthèses de qualité comparable à celles de l’état de l’art, dont les modèles sont basés sur des représentations à partir de réseaux convolutionnels profonds.