Équations de Painlevé non abéliennes

Des extensions non abéliennes de divers systèmes intégrables constituent l'un des centres d'intérêt de la physique mathématique moderne. En raison du lien étroit entre les modèles intégrables et les équations de Painlevé, ces dernières constituent un bon exemple de ce phénomène.Cette thèse est consacrée aux problèmes de classification liés aux généralisations non abéliennes pour les célèbres équations différentielles de Painlevé et à l'étude des analogues non abéliens des surfaces de monodromie pour la deuxiéme équation de Painlevé.Afin de classifier les analogues non abéliens avec des paramètres abéliens pour l'équation de Painlevé, nous considérons des systèmes autonomes auxiliaires obtenus en fixant la variable "indépendante".Nous supposons que ces systèmes sont intégrables au sens classique, c'est-à-dire qu'ils doivent avoir soit un hamiltonien, soit des intégrales premières, soit des symétries commutatives.En ce qui concerne ces critères, nous avons trouvé une classe d'équations de Painlevé non abéliennes qui admet une représentation à courbure nulle et qui est fermée par dégénérescence.Des exemples de nouveaux systèmes avec un paramètre non abélien sont également discutés.Des surfaces de monodromie non commutatives peuvent être obtenues en considérant les données de monodromie du système linéaire équivalent à la deuxiéme équation de Painlevé.Des analogues non abéliens pour les surfaces de monodromie de type FN et de type JM sont présentés.