On the Floer theory of Lefschetz fibrations on the cotangent bundle extending Morse functions

Autour de la théorie de Floer des fibrations de Lefschetz sur le fibré cotangent étendant les fonctions de Morse Dans cette thèse, nous étudions le sujet d’extension d’une fonction de Morse sur une variété close en une fibration de Lefschetz sur le fibré cotangent de la variété, ainsi que certaines questions relatives à la théorie de Floer de cette extension. Dans le premier chapitre, nous présentons le théorème d’extension dû à E. Giroux, l’étendons au cas analytique réel et démontrons un théorème au modèle local portant sur le transport parallèle le long d’un demi-cercle unitaire. Dans les chapitres 2 et 3, nous formulons et mettons dans ce contexte une conjecture de P. Seidel sur le lien entre la catégorie du flot de la fonction de Morse et la catégorie de Donaldson-Fukaya dirigée de la fibration de Lefschetz, particulièrement en dimension 2, resp. 3. Dans le dernier chapitre, nous donnons une réponse négative à une question naturelle d’E. Giroux sur un lien entre l’homologie de Heegaard-Floer d’une variété de dimension 3 et la fibration de Lefschetz qui étend une fonction de Morse induisant un diagramme de Heegaard.