Calcul des fonctions zêta de certaines courbes d'Artin-Schreier

Cette thèse est consacrée à l’étude de certaines courbes d’Artin-Schreier sur des corps finis. On étudie dans un premier temps le problème du nombre de points rationnels de ces courbes sur un corps fini, en particulier sur n'importe quelle extension finie de son corps de définition, tout en l’exprimant à l’aide des sommes de caractères puis des sommes de Gauss. Dans un second temps, on exprime la fonction zêta de ces courbes, principalement le numérateur de cette fonction à l’aide de fonction L puis on donne des résultats sur le polygone de Newton du numérateur de cette fonction. Il faut dire que ces courbes ont été l’objet d’étude depuis plus d’un siècle. On peut citer par exemple McGuire et Yilmaz qui ont démontré des résultats sur la divisibilité du numérateur de la fonction zêta de certaines de ces courbes. Dans notre travail, nous donnons des résultats sur la factorisation du numérateur de la fonction zêta de certaines de ces courbes via les polynômes cyclonomiques.Il faut aussi citer I. Bouw et ses co-autrices qui eux-mêmes ont exprimés la fonction zêta de certaines courbes d’Artin-Schreier sur un corps fini spécifique. Notre travail est proche de ce qu’a fait Bouw et ses co-autrices, mais nous considérons plutôt des courbes d’Artin-Schreier généralisées et exprimons leur fonction zêta sur n’importe quel corps. Ce qui nous a permis d’obtenir des résultats plus généraux.