Résultats sur les extensions singulières des groupes d'Artin et de tresses virtuelles

Cette thèse se propose d’étudier deux objets liés aux monoïdes de tresses singulières, le morphisme de désingularisation et la famille des invariants de Vassiliev, transposés dans les cadres respectifs des monoïdes d’Artin singuliers et des monoïdes de tresses virtuelles singulières. Dans le premier chapitre, on rappelle les définitions de ces deux objets dans leur contexte d'origine, celui des monoïdes de tresses singulières qui sont des extensions des groupes de tresses, puis celles des principales problématiques s'y rapportant, qui sont la déterminations de l'injectivité du morphisme de désingularisation et de la séparabilité des tresses (classiques ou singulières) par les invariants de Vassiliev, ainsi que les résultats qui répondent à ces problématiques. Dans le second chapitre, on redonne les fondamentaux de la théorie des groupes d'Artin et les définitions des principales familles de groupes d'Artin avant de rappeler la définition d'extension singulière associée à un groupe d'Artin. On démontre alors l'analogue singulier du résultat de Van der Lek sur les sous-groupes paraboliques d'un groupe d'Artin pour les monoïdes singuliers d'Artin de type FC et de type affine. On rappelle qu'il est également possible dans ce nouveau contexte de définir un morphisme de désingularisation, des invariants de Vassiliev ainsi que de reformuler les mêmes problématiques que dans le cades des tresses, et après avoir redonné les résultats connus sur ces problématiques pour les groupes d'Artin angle droit et les groupes d'Artin de type I, on démontre l'injectivité du morphisme de désingularisation pour les groupes d'Artin de type A affine ainsi que la séparabilité des éléments des groupes de type A affine et de type B par leurs invariants de Vassiliev respectifs. Dans les troisième et quatrièmes chapitres, on rappelle les définitions des groupes de tresses virtuelles, qui sont d'autres extensions des groupes de tresses, et des monoïdes de tresses virtuelles singulières qui leur sont associés. On démontre que les monoïdes de tresses virtuelles singulières sont bien des extensions communes aux groupes de tresses virtuelles et aux monoïdes de tresses singulières. On étend ensuite aux tresses virtuelles singulières les interprétations combinatoires (en termes de diagrammes de Gauss) et topologiques (en termes de classes stables de tresses abstraites) déjà connues pour les tresses virtuelles. Enfin, après avoir redéfini le morphisme de désingularisation et les invariants de Vassiliev pour les tresses virtuelles, on montre que la résolution des problématiques qui y sont liées est équivalente à la résolution de ces mêmes problématiques pour une famille de groupes d'Artin particuliers qui sont des sous-groupes des groupes de tresses virtuelles. On conclut la thèse par une étude sur le problème de la plongeabilité d'un monoïde dans sa monoïde dans son groupe enveloppant sur laquelle on s'appuie pour démontrer certains résultats de la thèse.