A Deligne-Riemann-Roch isometry for flat unitary vector bundles on modular curves

Une isométrie de Deligne-Riemann-Roch pour les fibrés plats unitaires sur les courbes modulaires L'objectif de cette thèse est de définir et d'étudier une métrique de Quillen sur une courbe modulaire ayant des cusps pour la métrique de Poincaré, munie d'un fibré vectoriel holomorphe plat unitaire. Dans le cas compact, étudié par Bismut-Gillet-Soulé et Deligne, cette métrique de Quillen est une modification de la métrique L² par le déterminant du laplacien de Dolbeault agissant sur les sections. Une de ses propriétés fondamentales est qu'elle satisfait une isométrie de type Riemann-Roch. Sous nos hypothèses, cette construction ne peut être faite, en raison de la singularité aux cusps de la métrique de Poincaré sur la courbe modulaire, et de la métrique canonique sur le fibré. Un premier essai de définition, réalisé par Takhtajan et Zograf pour des fibrés d'endomorphismes en remplaçant le déterminant du laplacien de Dolbeault par la valeur en 1 de la dérivée de la fonction zeta de Selberg, a mené à une formule de courbure, mais pas à une isométrie. La métrique de Quillen définie dans ce texte généralise celle donnée par Takhtajan et Zograf aux fibrés plats unitaires. Elle aura cependant l'avantage crucial de rentrer dans le cadre d'une isométrie, similaire à celle étudiée par Deligne, et de mener à un théorème de Riemann-Roch arithmétique. Afin de contourner les singularités des métriques, nous utiliserons des méthodes dues à Freixas i Monplet et von Pippich. Ces dernières sont principalement constituées d'outils de chirurgie analytique, tels que la troncature des métriques et des formules de recollement de Mayer-Vietoris, pour réduire l'étude des déterminants de laplaciens à des calculs de type global, pour lequel nous utiliserons la formule des traces de Selberg, et de type local, qui nécessitera l'introduction de fonctions spéciales.