Combinatoire bijective autour d'arbres et de chemins

Cette thèse située dans le cadre de la combinatoire bijective a pour sujet plusieurs familles d'arbres et de chemins, objets classiques de la combinatoire, et tente de les mettre en relation par la construction de bijections. Dans un premier temps, motivé par des travaux récents, on s'intéresse aux chemins de basketball, dont la fonction génératrice vérifie une relation non triviale avec les nombres de Catalan. La preuve originale provenant de la méthode du noyau, notre objectif est d'étudier la décomposition de ce chemin pour obtenir une preuve bijective de cette formule. On trouve de plus que cette classe de chemins est en bijection avec les arbres unaires-binaires croissants dont la permutation associée évite -213-. Ensuite on s'intéresse à une formule d'énumération de chemins de Dyck pondérés. Corolaire de l'application d'une formule des équerres généralisée sur les tableaux de Young gauche, on montre que cette formule peut être interprétée comme une fraction continue grâce à la théorie de Flajolet. On s'intéresse aussi à une généralisation à -4- variables des polynômes de Ramanujan, et leur lien avec certaines familles d'arbres. Tout comme Guo et Zeng l'on fait précédemment avec les arbres planaires et les arbres à moitié mobiles, on interprète ces polynômes comme des fonctions génératrices des arbres de Greg et des arbres de Cayley, en construisant plusieurs bijections les mettant toutes en relation. Enfin, on s'intéresse à un ensemble partiellement ordonné de fonctions de parking à bulles. En s'intéressant à une représentation arborescente des fonctions de parking, on obtient plusieurs résultats sur la topologie de cet ensemble, notamment des résultats d'épluchabilité et d'énumération de chaînes