Planar maps, Tamari intervals and parking trees : a bijective journey

Cartes planaires, intervalles de Tamari et arbres de stationnement : un voyage bijectif Comme l'indique son titre, cette thèse se veut être une exploration des liens bijectifs unissant les trois grandes familles d'objets combinatoires que forment les cartes planaires, les intervalles de Tamari et les arbres de stationnement. Au cours de cette balade, nous allons rencontrer bien d'autres sortes d'animaux combinatoires aux noms exotiques, comme des poissons combattants, des excursions dans le quart de plan, des mobiles plongés, des flots fermés, des arbres bourgeonnants... Les cartes planaires sont bien connues des combinatoriciens depuis leur introduction il y a plus de soixante ans. Leur forte structure combinatoire sous-jacente a contribué au développement d'un solide tissu bijectif les entourant. On peut citer l'exemple des bijections avec des arbres bourgeonnants, permettant une preuve élégante des jolies formules comptant les familles de cartes planaires. Plus récemment, la découverte de formules similaires pour les intervalles de Tamari a conduit à l'exploration de la connexion bijective avec les cartes planaires. Dans ce manuscrit, nous revisitons certaines de ces bijections et nous en créons de nouvelles, apportant un éclairage nouveau en intégrant de nombreuses familles combinatoires. Au carrefour des correspondances développées dans notre travail, nous allons rencontrer plusieurs modèles d'arbres de stationnement. Non seulement ces arbres apparaissent de manière naturelle comme codant des familles de cartes planaires et d'intervalles de Tamari, mais ils sont aussi des prototypes d'objets régis par des équations catalytiques. En ce sens, l'étude générale des arbres de stationnement, initiée par Duchi et Schaeffer en 2023, et poursuivie ici, paraît très prometteuse pour une compréhension encore affinée des schémas bijectifs et énumératifs entourant ce manuscrit.