Heat flow of p-harmonic maps from complete manifolds into regular balls

Flot de la chaleur des applications p-harmoniques de variétés complètes à valeurs dans des boules régulières Cette thèse est consacrée à l’étude des applications p-harmoniques entre variétés Riemanniennes complètes. Plus précisément, si l’on désigne par (M, g) et (N, h) deux variétés Riemanniennes complètes, notre objectif est l’étude des applications p-harmoniques ainsi que leur flot de M dans des ensembles réguliers qui sont des sous-ensembles de N vérifiant une condition géométrique de type convexité. Les applications p-harmoniques sont solutions d’un système non-linéaire elliptique dégénéré. La difficulté principale dans l’étude de ces équations est qu’il s’agit d’une part d’équations dégénérées aux points où la différentielle de l’application s’annule, et d’autre part, la présence d’un terme non-linéaire complique l’étude du problème. Dans la première partie de la thèse, nous étudions le cas où l’image de la donnée initiale du flot est contenue dans une boule régulière généralisée dans N. Nous démontrons alors l’existence globale et la convergence du flot vers une application p-harmonique. Dans la deuxième partie de la thèse, nous mettons en évidence et prouvons quelques propriétés pour les applications p-harmoniques à valeurs dans des ensembles réguliers. Nous obtenons un résultat de compacité des applications p-harmoniques ainsi qu’un théorème de type Liouville. Dans la dernière partie de la thèse, nous étudions le flot de la chaleur p-harmonique d’une variété riemannienne compacte à valeurs dans R. Nous obtenons des estimations de type gradient sur les solutions généralisant ainsi un précédent résultat de R. Hamilton concernant le cas p=2.