Homologies lagrangiennes, symplectiques et attachement d'anse

Dans cette thèse, je présente une nouvelle construction du complexe de Fukaya enroulé d’une lagrangienne ainsi que de l’algèbre de Chekanov d’une legendrienne en utilisant des techniques développées par Cieliebak, Ekholm et Oancea. Ces constructions vérifient des propriétés de fonctorialité par rapport aux cobordismes et sont donc adaptées pour étudier un attachement d’anse symplectique. Ainsi, je démontre que le complexe de Fukaya enroulé de la coâme est isomorphe à l’algèbre de Chekanov de la sphère d’attachement d’anse et je montre que cet isomorphisme se factorise par l’application « Open-Closed » de Abouzaid. Je présente ensuite une stratégie pour déduire de ces résultats deux théorèmes importants annoncés par Bourgeois, Ekholm et Eliashberg concernant le comportement de l’homologie symplectique par attachement d’anse et la génération de la catégorie de Fukaya enroulée. Dans le dernier chapitre, je définis en suivant une idée de A’Campo un flot géodésique sur le squelette des variétés de Brieskorn-Pham et je relie ce dernier au flot de Reeb sur l’entrelacs de contact de la singularité dans l’optique de généraliser le théorème de Viterbo qui relie homologie symplectique du cotangent et homologie d’un espace de lacets.