Hétérogénéité dans les lois de conservation scalaires : approximation et applications

Dans cette thèse, on traite la prise en compte de l'hétérogénéité dans les lois de conservation scalaires, c'est à dire les lois de conservation non invariantes par translation en espace. Ces équations apparaissent notamment dans lesmodèles de trafic. Par exemple, les mécanismes suivants introduisent de l'hétérogénéité : la présence de feux de circulation, des portions de route où la vitesse maximale est limitée, la variabilité de l'état de la route, etc... La prise en compte del'hétérogénéité permet d'enrichir les modèles de trafic. On aborde trois classes de problèmes inhomogènes pour lesquelles on complète et approfondit le cadre mathématique pour l'analyse théorique et l'approximation numérique.Nous explorons en détail le cadre où l'hétérogénéité est matérialisée par l'ajout d'une ou plusieurs interfaces mobiles. Le long des interfaces, on impose une condition de majoration sur le flux de la loi de conservation. Cette classe demodèles permet de tenir compte de la présence d'un petit nombre de véhicules encombrants et lents (ou alors, de véhicules autonomes qui ont pour rôle la régulation du trafic). Dans ce cadre, l'évolution des interfaces et des contraintesest couplée de façon non locale à l'état du trafic et/ou aux paramètres spécifiant l'état du véhicule ou du conducteur. En outre, nous élaborons une description de l'hétérogénéité du trafic résultant des variations du degré d'organisation desconducteurs, dans le cadre des modèles dits "du second ordre". L'aspect numérique est prépondérant pour les modèles de trafic que nous étudions. On construit des schémas numériques robustes et on élabore des techniques decompacité spécifiques. La convergence de ces schémas conduit à des résultats d'existence.Enfin, en lien avec le modèle décrivant l'évolution d'une densité de véhicules sur une route hétérogène, on étudie théoriquement une loi de conservation dans laquelle la dépendance spatiale du flux est explicite. Des résultatsclassiques sur le caractère bien posé ou la correspondance avec l'équation de Hamilton-Jacobi associée sont obtenus sous des hypothèses plus en adéquation avec la modélisation que celles rencontrées dans la littérature. Les applicationsallant au-delà de la description du trafic, on se donne pour objectif l'analyse approfondie des problèmes d'identification de données initiales.