Théorèmes ergodiques, actions de groupes et représentations unitaires

Dans cette thèse, nous étudions d'abord la notion de discrépance, qui mesure le taux de convergence des moyennes ergodiques. Nous démontrons des estimations pour la discrépance d'actions sur la sphère, le tore et le shift de Bernoulli, ainsi que pour des actions de groupes localement compacts ; nous démontrons une inégalité qui permet de situer la discrépance dans le cas des actions de groupes dans le cadre général des méthodes de Monte-Carlo. Nous considérons ensuite l'action du groupe libre sur le bord de l'arbre de Cayley qui lui est associé. Nous démontrons un théorème ergodique pour certaines moyennes pondérées pour cette action, qui ne préserve que la classe des mesures naturelles sur ce bord. Nous retrouvons ainsi l'irréductibilité de la représentation unitaire associée à l'action. La troisième thématique concerne la propriété de Howe-Moore. Les groupes qui la vérifient ont la propriété que toutes leurs actions ergodiques sont automatiquement mélangeantes, mais cette propriété n'est pas stable par produit direct. Nous proposons une généralisation de la propriété de Howe-Moore, qui passe par une axiomatisation du phénomène de Mautner, qui permet d'étudier le cas des produits. Enfin, nous montrons que tous les réseaux héritent de la propriété de décroissance rapide radiale, et nous donnons l'exemple explicite d'un groupe discret, muni d'une fonction de longueur naturelle, quasi-isométrique à une longueur des mots, qui possède la propriété RRD, mais pas la propriété RD