Représentations de hauteur finie et complexe syntomique

Finite height representations and syntomic complex Le but de cette thèse est d’étudier les représentations cristallines de hauteur finie en théorie de Hodge p-adique relative, et d’appliquer les résultats ainsi obtenus au calcul de la cohomologie galoisienne continue de telles représentations via des méthodes syntomiques.Dans les années 1980, Fontaine a lancé un programme pour classer les représentations p-adiques du groupe de Galois absolu d’un corps local p-adique au moyen de certains objets algébriques linéaires attachés fonctoriellement aux représentations. Un aspect de son programme consistait à classer toutes les représentations p-adiques du groupe de Galois en termes de (phi, Gamma)-modules étales. D’autre part,Fontaine a montré que les représentations cristallines peuvent être classées en termes de phi-modules filtrés admissibles. Par conséquent, c’est une question naturelle de demander pour des représentations cristallines : existe-t-il une relation directe entre le phi-module filtré et le (phi, Gamma)-module étale ? Fontainea exploré cette question lui-même, où il a considéré les représentations de hauteur finie (définies en termes de (phi, Gamma)-modules) et examiné leur relation avec les représentations cristallines. Ce point de vue a été exploré plus avant par Wach, Colmez et Berger. En particulier, Wach a donné une description des représentations cristallines de hauteur finie en termes de (phi, Gamma)-modules.Dans le cas relatif, la théorie des (phi, Gamma)-modules a été développée par les travaux d’Andreatta, Brinon et Iovita. De plus, la notion analogue de représentations cristallines a été étudiée par Brinon.La première contribution de notre travail est la notion de modules de Wach relatifs. Motivés par la théorie de Fontaine, Wach et Berger, nous définissons et étudions quelques propriétés des modules deWach relatifs. De plus, nous explorons le lien avec la théorie de Brinon des représentations cristallines relatives et F-isocristaux associé.Le deuxième résultat concerne le calcul de la cohomologie galoisienne à l’aide de complexes syntomiques à coefficients. Cette idée a été utilisée dans un travail récent de Colmez et Niziol, où ils effectuent le calcul pour les représentations associées aux puissances du caractère cyclotomique. Sous certaines hypothèses techniques, nous montrons que pour des représentations cristallines de hauteur finie, on peut essentiellement généraliser le résultat local de Colmez et Niziol.