Strategy complexity of zero-sum games on graphs

Complexité des stratégies des jeux sur graphes à somme nulle Les jeux sur graphes à deux joueurs et à somme nulle constituent un modèle central en informatique théorique. De tels jeux modélisent une interaction potentiellement infinie entre un système dit réactif et son environnement. Le système est considéré comme un joueur et souhaite garantir une spécification (traduite en un objectif de jeu). Son environnement est considéré comme un joueur antagoniste. Le but est de synthétiser automatiquement un contrôleur pour le système qui garantit la spécification peu importe le comportement de l'environnement, ce qui correspond à construire une stratégie gagnante dans le jeu dérivé.Une question cruciale dans cette problématique de synthèse est celle de la complexité des stratégies : si des stratégies gagnantes existent, à quel point peuvent-elles être simples et à quel point doivent-elles être complexes ? Une mesure standard de complexité des stratégies est la quantité de mémoire nécessaire pour implémenter des stratégies gagnantes pour un objectif donné. En d'autres termes, quelle quantité d'information faut-il retenir au sujet du passé pour prendre des décisions optimales concernant le futur ? Des preuves de l'existence de bornes sur les besoins en mémoire ont historiquement eu un impact important. Par exemple, de telles bornes ont mené à des preuves de décidabilité de théories monadiques du second ordre, et sont au cœur de nombreux algorithmes efficaces pour la synthèse. Les objectifs déterminés à mémoire finie (c'est-à-dire ceux qui admettent des stratégies gagnantes se limitant à une mémoire finie) sont particulièrement pertinents, car ils mènent à l'existence de contrôleurs pouvant être implémentés en pratique. Dans cette thèse, nous cherchons à améliorer la compréhension de la détermination à mémoire finie. Nous distinguons deux axes dans nos contributions.Premièrement, nous introduisons le concept de détermination à mémoire finie indépendante de l'arène, qui décrit les objectifs pour lesquels une unique structure automatique de mémoire suffit pour implémenter des stratégies gagnantes dans tous les jeux. Nous caractérisons cette propriété via des propriétés algébriques et de langages dans différents contextes (jeux joués sur des graphes finis ou infinis). Nous montrons en particulier que la compréhension des besoins en mémoire dans les jeux à un joueur (c'est-à-dire les jeux plus simples dans lesquels le même joueur contrôle toutes les actions) mène généralement à des bornes sur les besoins en mémoire dans les jeux à deux joueurs et à somme nulle. Nous montrons également que si l'on considère les jeux joués sur des graphes infinis, les objectifs déterminés à mémoire finie indépendante de l'arène sont exactement les objectifs oméga-réguliers, ce qui fournit une réciproque au célèbre théorème de détermination à mémoire finie de ces objectifs. Ces résultats généralisent des travaux précédents au sujet des objectifs pour lesquels aucune mémoire n'est nécessaire pour les stratégies gagnantes.Deuxièmement, nous identifions des classes naturelles d'objectifs pour lesquels les besoins en mémoire ne sont pas complètement établis. Nous introduisons les objectifs réguliers (une sous-classe des oméga-réguliers), qui sont des objectifs dérivés de langages réguliers. Nous donnons une caractérisation effective des besoins en mémoire de ces objectifs pour chacun des joueurs, et nous étudions la complexité de décider de l'existence d'une petite structure de mémoire. Nous considérons ensuite des objectifs plus complexes définissables avec des automates de Büchi déterministes. Nous caractérisons ceux pour lesquels le premier joueur n'a besoin d'aucune mémoire pour implémenter des stratégies gagnantes (une propriété appelée semi-positionnalité). Grâce à cette caractérisation, nous montrons que la semi-positionnalité est décidable en temps polynomial pour ces objectifs. Ces résultats complètent des travaux fondateurs sur les besoins en mémoire des objectifs oméga-réguliers.