Théorie de Bass-Serre profinie

La théorie de Bass-Serre a été développée en 1970 par Jean-Pierre Serre, dans [Ser77]. Elle a pour motivation principale d'étudier la structure des sous-groupes discrets et sans torsion de SL2(Qp), plus précisément le théorème d'Ihara suivant lequel ces sous-groupes sont libres. S'inspirant de la topologie notamment de la théorie des revêtements, il devient alors plus naturel, explique J-P Serre de montrer la liberté d'un groupe en le faisant agir librement sur un arbre. Il en déduit ainsi une preuve simple et élégante de ce théorème jugé mystérieux et permet de généraliser plusieurs résultats de théorie combinatoire des groupes : les théorèmes de Nielsen-Schreier, de Kurosh et de Nagao entre autres. Cette théorie montre plus généralement qu'un groupe agit sur un arbre sans inversion si et seulement il est isomorphe à un amalgame non trivial ou à une extension HNN.En 2011 B. Deschamps et I. Suarez ont introduit dans [DSA11] une théorie combinatoire pour les groupes profinis et ont démontré un analogue pour les groupes profinis du théorème de Serre sur liberté d'un groupe : un groupe profini possède un sous-groupe libre dense si et seulement il agit prolibrement sur un poarbre. La notion d'action prolibre se résume moralement à faire agir librement les groupes du système projectif de groupes finis associés à un groupe profini sur chaque étage d’un système projectif de graphes avec certaines conditions arithmétiques.L'objet de cette thèse est de donner une contribution à cette théorie des prographes. Les outils et techniques développés par Deschamps et Suarez étant placé dans un cadre assez général nous permettent alors de montrer un analogue du théorème de DS pour les groupes profinis possédant un sous-groupe amalgamé dense ainsi qu'une généralisation de ce résultat. Enfin nous illustrons ces résultats sur des situations galoisiennes bien connues.