Produits polarisés de courbes elliptiques à multiplication complexe et applications aux courbes de petit genre

Dans cette thèse je souhaite présenter certaines équivalences de catégories reliant les variétés abéliennes polarisées isogènes à un produit de courbes elliptiques à multiplication complexe. Une de ces équivalences concerne ces variétés sur les corps finis tandis que l'autre se place sur le corps des nombres complexes. Pour chacune d'elles nous présentons des applications à l'existence de certaines courbes algébriques de petit genre (g=2, 3 et 4). Dans le cas des corps finis nous nous servons de la théorie des fonctions thêta algébriques développée par David Mumford pour reconstruire des courbes optimales de genre 2 et 3 en calculant notamment l'obstruction de Serre en genre g=3. En genre 4 nous nous servons du calcul de la forme modulaire d'Igusa algébrique pour caractériser le lieu des jacobiennes, ce qui fournit une réponse partielle au problème de Schottky dans ce cas particulier. Nous nous en servons pour déterminer l'inexistence de certaines courbes optimales. Sur C nous nous servons d'une équivalence similaire pour classifier les classes d'isomorphisme des courbes algébriques de genre 2 et 3 ayant pour corps de module Q et dont la jacobienne est isomorphe au produit de courbes elliptiques à multiplication complexe par un ordre maximal.