Géométrie des courbes : une approche explicite par les invariants

Dans cette thèse, nous nous intéressons à des quantités polynomiales, qu'on appelle invariants, qui caractérisent la classe d'isomorphisme géométrique des courbes d'un genre et modèle donnés. Ces invariants ont de nombreuses applications, et ils jouent notamment un rôle central dans la construction d'exemples de courbes qui possèdent des propriétés arithmétiques ou géométriques intéressantes, comme la multiplication complexe. Pour les courbes de genre 1, 2 et 3, de tels invariants sont connus. Un article récent de Brouwer et Popoviciu exhibe des invariants classifiant les classes d'isomorphismes des courbes hyperelliptiques de genre 4. Dans un premier temps, nous présentons des invariants qui caractérisent les classes d'isomorphismes des courbes non-hyperelliptiques de genre 4.Ce premier travail a donné lieu à une publication dans le Journal of Algebra. Ensuite, nous donnons un algorithme explicite de reconstruction d'une courbe non-hyperelliptique de genre 4 à partir de ses invariants. L'algorithme développé est valide dans un cadre général, et permet la reconstruction d'hypersurfaces à partir de leurs invariants pour l'action du groupe linéaire. Cet algorithme généralise celui de Mestre pour la reconstruction de courbes hyperelliptiques à partir de leurs invariants. Ce second travail a été soumis pour publication dans le Journal of Pure and Applied Algebra. Enfin, nous étudions quelques questions complémentaires : - La validité des invariants de Dixmier-Ohno en caractéristique positive, - Comment construire des courbes de genre 4 grâce aux algorithmes présentés précédemment, - Le problème effectif de déterminer une transformation linéaire entre deux formes de degré d en n variables. Pour ce dernier, nous donnons un algorithme efficace qui détermine une transformation entre deux formes génériques linéairement équivalentes.