Grandes déviations et convergence du spectre de matrices aléatoires

L'un des principaux objets d'étude de la théorie des matrices aléatoires est le spectre de matrices dont les coefficients sont des variables aléatoires et dont la dimension est grande. Dans cette thèse, on s'intéresse à deux questions concernant le spectre de matrices aléatoires : les grandes déviations de la plus grande valeur propre et la convergence de la mesure empirique. En dehors des cas où les coefficients sont à distributions gaussiennes ou à queues lourdes, peu de principes de grandes déviations sont connus en théorie des matrices aléatoires, tant pour la mesure empirique que pour la plus grande valeur propre. Dans la première partie de cette thèse on présente une série de principes de grandes déviations pour la plus grande valeur propre des matrices de Wigner, de Wishart et des matrices à profils de variance ayant des coefficients dont la distribution vérifie une borne sous-gaussienne. Dans la seconde partie de cette thèse, on s'intéresse à la convergence de la mesure empirique pour des polynômes de matrices aléatoires. Dans le cas de polynômes auto-adjoints en des matrices de Wigner indépendantes, les travaux de Voiculescu permettent de voir la limite de la mesure empirique comme la mesure spectrale d'un polynôme en des éléments semi-circulaires libres. Toutefois dans le cas général, il est nécessaire d'avoir un contrôle sur les plus petites valeurs singulières pour conclure. On présente un tel résultat pour le cas particulier d'un polynôme de degré 2 en des matrices de Ginibre ainsi que la preuve de la convergence de la mesure empirique.