Matrices aléatoires : grande dimension et résolution exacte

Cette thèse explore certains aspects de la solvabilité exacte en théorie des matrices aléatoires. Elle est structurée en deux parties principales. La première partie traite d’un problème en grande dimension, sur comportement asymptotique des polynômes caractéristiques de matrices aléatoires. Nous nous concentrons sur deux modèles intégrables. Le premier est l’Ensemble de Ginibre Elliptique, une interpolation gaussienne entre l'Ensemble de Ginibre et son homologue hermitien, l'Ensemble Unitaire Gaussien. Le second modèle concerne les matrices de permutation, où la permutation sous-jacente suit la distribution d’Ewens généralisée pour laquelle la mesure d’une permutation dépend uniquement de sa structure en cycles. Pour ces deux modèles, nous établissons la convergence en loi du polynôme caractéristique vers une fonction analytique aléatoire lorsque la dimension des matrices tend vers l’infini. Cette convergence a lieu en dehors du support des valeurs propres et est complémentaire de la convergence des distributions spectrales. La seconde partie concerne un problème en dimension fixée. Nous considérons des produits de matrices unitaires uniformément distribuées sur des orbites de conjugaison. Nous déterminons la densité de probabilité des valeurs propres de ce produit. Cette densité est liée au volume de l’espace des modules des connexions plates sur une sphère à trois trous. Notre formule fournit une expression positive pour la densité et pour ce volume sous la forme d'une somme de volumes de polytopes explicites. Ces polytopes émergent d’objets combinatoires appelés puzzles, permettant de calculer les coefficients d’intersection pour la cohomologie des variétés de drapeaux à deux sous-espaces. Nous explorons également certaines propriétés de ces puzzles.