ФОРМУЛЫ ОЦЕНКИ ОШИБОК И ИХ АНАЛИЗ ДЛЯ CG, BI-CG И GMRES

Современные требования к точности в измерениях и инженерных моделях увеличивают число обусловленности задач. В то время как увеличение точности чисел с плавающей запятой привело к стабильным вычислениям, увеличилась неопределенность в вопросе сходимости при использовании невязки в качестве критерия остановки. Мы представляем анализ неопределенности сходимости при использовании относительной невязки в качестве критерия остановки для итеративного решения линейных систем, а также получаемое увеличение/уменьшение вычислений при заданной допустимой погрешности. Это показывает, что оценка ошибки важна для эффективного или точного решения, даже когда число обусловленности матрицы невелико. Формула оценки ошибки Ο(1) для итераций алгоритма CG была предложена более двух десятилетий назад. Недавно формула оценки ошибки Ο(κ2) была описана для алгоритма GMRES, который допускает также несимметричные линейные системы, где κ - номер итерации. Мы предлагаем небольшую модификацию этой оценки ошибки GMRES для повышения устойчивости. В данной работе мы также предлагаем формулу оценки ошибки Ο(n) для A-нормы и l2-нормы вектора ошибки в алгоритме Bi-CG. Надежная работа этих оценок в качестве критерия остановки увеличивает экономию и точность вычислений по мере увеличения числа обусловленности и размера задач. The demands of accuracy in measurements and engineering models today render the condition number of problems larger. While a corresponding increase in the precision of floating point numbers ensured a stable computing, the uncertainty in convergence when using residue as a stopping criterion has increased. We present an analysis of the uncertainty in convergence when using relative residue as a stopping criterion for iterative solution of linear systems, and the resulting over/under computation for a given tolerance in error. This shows that error estimation is significant for an efficient or accurate solution even when the condition number of the matrix is not large. An Ο(1) error estimator for iterations of the CG algorithm was proposed more than two decades ago. Recently, an Ο(κ2) error estimator was described for the GMRES algorithm which allows for non-symmetric linear systems as well, where κ is the iteration number. We suggest a minor modification in this GMRES error estimation for increased stability. In this work, we also propose an Ο(n) error estimator for A-norm and l2-norm of the error vector in Bi-CG algorithm. The robust performance of these estimates as a stopping criterion results in increased savings and accuracy in computation, as condition number and size of problems increase.