Trois problèmes géométriques d'hyperbolicité complexe et presque complexe

Cette thèse est consacrée à l'étude de trois problèmes d'hyperbolicité complexe et presque complexe. La première partie est dédiée à la recherche d'une conséquence quantitative de l'hyperbolicité au sens de Kobayashi, qui est une propriété qualitative. Le résultat obtenu prend la forme d'une inégalité isopérimétrique qui évoque l'inégalité d'Ahlfors relative aux recouvrements des surfaces de surfaces. Sa démonstration est purement riemannienne.La deuxième partie de la thèse est consacrée à la démonstration d'une version presque complexe du théorème de Borel, qui affirme que les courbes entières dans le plan projectif complexe évitant quatre droites en position générale sont linéairement dégénérées. Dans un plan projectif presque complexe, les J-droites substituent aux droites projectives et nous disposons d'un énoncé analogue pour les J-courbes entières. La démonstration de ce résultat repose sur l'utilisation de projections centrales et sur la théorie de recouvrement des surfaces d'Ahlfors.La dernière partie est consacrée à la démonstration d'une version presque complexe du théorème de Bloch, qui affirme qu'une suite non normale de disques holomorphes du plan projectif évitant quatre droites en position générale converge, en un certain sens, vers une réunion de trois droites. Notre résultat implique en particulier l'hyperbolicité du complémentaire dans le plan projectif presque complexe de quatre J-droites modulo trois J-droites.