Méthodes numériques adaptées à la résolution des équations de Navier-Stokes

Le groupe de recherche Instabilités et Méthodes Numériques Spécifiques mène ses activités dans le développement d’outils numé- riques pour la résolution de problèmes non linéaires en utilisant, no- tamment, la Méthode Asymptotique Numérique (MAN). Basée sur le couplage d’une méthode de perturbation et de discrétisation spa- tiale, la MAN est efficace et permet de déterminer précisément les transitions telles que, par exemple, la perte d’unicité de la solution. L’objectif de ce travail de thèse est de proposer des méthodes numé- riques alternatives à la fois robustes, performantes pour la résolution des équations de Navier-Stokes. Nous nous intéressons à l’analyse de bifurcation stationnaire, mais aussi à la simulation d’écoulement dépendant du temps. Dans un premier temps, des techniques d’analyse de bifurcation nu- mérique pour des problèmes stationnaires à très grand nombre de degrés de liberté sont décrites. Nous implémentons ces techniques, basées sur la MAN, dans le logiciel open-source multi-physique ELMER . Nous détaillons l’implémentation des méthodes d’analyse de bifurcation stationnaire telles que la continuation de branches solutions, les techniques de détection des valeurs critiques du pa- ramètre de charge et les changements de branche en un point de bifurcation stationnaire. L’émergence d’une progression géométrique dans les termes de séries MAN à l’approche d’une singularité est dé- crite. Des discussions sont proposées pour le cas de bifurcations par brisure de symétrie. Les méthodes proposées dans ce travail sont validées en utilisant des cas référencés dans la littérature, tels que des écoulements dans des conduites à expansion/contraction sou- daine. Une étude paramétrique permet de présenter de nouveaux ré- sultats pour les écoulements tridimensionnels dans une expansion brusque. L’utilisation de librairies de calculs intensifs rend possible la réalisation d’analyse de bifurcation pour des modèles à très grand nombre de degrés de liberté, en des temps de calcul abordables. Dans un deuxième temps, des solveurs d’ordre élevé sont proposés pour la simulation d’écoulements instationnaires. Une technique d’homotopie à combinaison convexe et une technique de pertur- bation, sont couplées à un schéma d’intégration temporelle pour résoudre les équations instationnaires de Navier-Stokes. Le cas d’un écoulement bidimensionnel autour d’un cylindre fixe est étudié. Ce problème de référence nous permet de valider et discuter des amélio- rations proposées. De cette manière, nous confirmons, au cours des essais numériques, qu’il est possible de réduire les temps de cal- cul en évitant des assemblages d’opérateurs et des résolutions de systèmes linéaires qui n’apportent aucune information supplémen- taire pour la qualité des solutions. De plus, un nouvel éclairage est apporté sur l’utilisation des approximants de Padé par rapport aux travaux antérieurs. L’utilisation de ces solveurs non linéaires nous permet de réduire significativement le nombre de factorisations de matrice en les conservant valides pour un grand nombre de pas de temps, et parfois sur le domaine temporel complet. De nombreuses perspectives sont envisagées, notamment pour l’analyse des séries pour le cas d’un point limite, la bifurcation de Hopf, l’étude d’autre cas d’écoulements tridimensionnels, le couplage fluide-structure. De même, l’association des techniques MAN aux techniques de réductions de modèles et l’analyse de stabilité des orbites périodiques sont envisageables.