Théorie de Thurston en dynamique transcendante

Thurston theory in transcendental dynamics Nous développons la théorie des applications de Thurston de degré infini, qui sont définies partout sur la sphère topologique S2, en excluant potentiellement un ensemble fermé au plus dénombrable de singularités. Nous établissons un analogue du célèbre théorème de caractérisation de W. Thurston pour une large classe de telles applications de Thurston ayant quatre valeurs post-singulières. Cela est particulièrement significatif car cela représente la première occurrence d'un critère à la Thurston dans le cadre transcendant, englobant un nombre indénombrable d'applications de Thurston distinctes combinatoirement, à la fois réalisées et obstruées. Pour y parvenir, nous analysons les applications de tiré-en-arrière associées définies sur l'espace de Teichmüller de dimension complexe un, ce qui permet d'obtenir des informations sur la dynamique de tiré-en-arrière sur les espaces de Teichmüller et de modules. Cela met en lumière, à son tour, les propriétés supplémentaires des classes de Hurwitz et des espaces de paramètres correspondants des applications de Thurston considérées. Dans la deuxième partie de cette thèse, nous nous concentrons sur les applications de Thurston marquées. Nous montrons que lorsqu'une application de Thurston non marquée f, qu'elle soit de degré fini ou infini, est réalisée, l'application de Thurston marquée (f, A), où A ⊂ S2 est un ensemble marqué fini, est réalisée si et seulement si elle ne possède pas de cycle de Levy dégénéré. Ce résultat est obtenu à travers l'étude de l'application de tiré-en-arrière correspondante définie sur l'espace de Teichmüller de dimension supérieure, montrant que certaines itérations de cette application admettent des sous-variétés complexes invariantes bien comportées. En appliquant des outils puissants de la dynamique complexe en dimension un et de la géométrie hyperbolique, nous obtenons une compréhension claire du comportement de l'application de tiré-en-arrière restreinte au sous-ensemble invariant correspondant de l'espace de Teichmüller