Solutions optimales des problèmes de recouvrement sous contraintes sur le degré des nœuds

Le travail que nous développons dans le cadre de cette thèse s'articule autour des problèmes de recherche de structure de recouvrement de graphes sous contrainte sur le degré des sommets. Comme l'arbre de recouvrement couvre les sommets d'un graphe connexe avec un minimum de liens, il est généralement proposé comme solution à ce type de problèmes. Cependant, pour certaines applications telles que le routage dans les réseaux optiques, les solutions ne sont pas nécessairement des sous-graphes. Nous supposons dans cette thèse que la contrainte sur le degré est due à une capacité limitée instantanée des sommets et que la seule exigence sur le recouvrement est sa connexité. Dans ce cas, la solution peut être différente d'un arbre. Nous reformulons ces problèmes de recouvrement en nous appuyant sur une extension du concept d'arbre appelée hiérarchie de recouvrement. Notre objectif principal est de démontrer son intérêt vis-à-vis de l'arbre en termes de faisabilité et de coût du recouvrement. Nous considérons deux types de contraintes sur le degré : des bornes sur le degré des sommets ou une borne sur le nombre de sommets de branchement et cherchons dans les deux cas un recouvrement de coût minimum. Nous illustrons aussi l'applicabilité des hiérarchies en étudiant un problème prenant davantage en compte la réalité du routage optique. Pour ces différents problèmes NP-difficiles, nous montrons, tant sur le coût des solutions optimales que sur la garantie de performance des solutions approchées, l'intérêt des hiérarchies de recouvrement. Ce constat se voit conforté par des expérimentations sur des graphes aléatoires.