Arbres aléatoires : asymptotique de fonctionnelles et limites locales

Cette thèse porte sur l’étude de quelques propriétés asymptotiques des arbres de Bienaymé- Galton-Watson (BGW) et des arbres de Lévy. Les arbres de BGW encodent la structure généalogique des processus de BGW qui décrivent l’évolution d’une population dont les individus se reproduisent asexuellement et indépendamment les uns des autres. Les arbres de Lévy sont les analogues continus des arbres de BGW : ils sont définis comme les limites d’échelle de ces derniers et encodent la structure généalogique des processus de branchement à espace d’état continu. Dans une première partie, nous étudions des fonctionnelles additives générales sur les arbres de BGW conditionnés par leur taille et dont la loi de reproduction est critique et appartient au domaine d’attraction d’une loi stable. Dans le régime dit global, il y a convergence vers des fonctionnelles de l’arbre stable normalisé. Nous décrivons aussi une transition de phase à l’aide d’un test intégral pour les fonctionnelles dépendant uniquement de la taille et de la hauteur de l’arbre. La deuxième partie est consacrée à l’étude de l’arbre stable normalisé au voisinage de sa racine. En se rapprochant de la racine à la bonne vitesse, nous obtenons l’arbre immortel formé d’une branche infinie, sur laquelle sont greffés des arbres selon une mesure ponctuelle de Poisson ne dépendant pas de la normalisation initiale. Ensuite, ce résultat est appliqué pour étudier le comportement asymptotique des fonctionnelles de l’arbre stable normalisé mentionnées ci-dessus. Enfin, nous étudions le degré maximal des arbres de Lévy critiques et sous-critiques. Nous établissons une décomposition poissonienne de l’arbre le long des gros nœuds et nous dé- terminons la structure généalogique de ces derniers. De plus, nous donnons un sens à la loi de l’arbre de Lévy conditionné à avoir un degré maximal fixé. Cela permet d’obtenir la limite locale de l’arbre de Lévy conditionné à un grand degré maximal. Dans le cas sous-critique, un phénomène de condensation apparaît alors qu’il y a convergence vers l’arbre immortel dans le cas critique.