On a few non-linear and isometric aspects of asymptotic geometry of Banach spaces

Sur quelques aspects non-linéaires et isométriques de la géométrie asymptotique des espaces de Banach Cette thèse est consacrée à l'étude de la géométrie des espaces de Banach. Elle est composée de trois chapitres que nous allons brièvement décrire dans la suite du paragraphe, et est centrée autour deux grands thèmes de recherche, la géométrie non-linéaire et la théorie isométrique.Dans le premier chapitre, nous introduirons tout le bagage nécessaire en théorie asymptotique des espaces de Banach. On introduira les propriétés standards de lissité asymptotique uniforme et de convexité asymptotique uniforme, et on décrira un large éventail de leur utilisation. On présentera ensuite les résultats majeurs de théorie du renormage dans le contexte en relation avec l'indice de Szlenk, et on décrira quelques applications de cet invariant isomorphique en théorie linéaire des espaces de Banach. En particulier, on considérera la notion fondamentale d'arbres dans un espace de Banach et on fera un brève incursion en théorie des structures asymptotiques qui met en oeuvre dans le contexte de puissants outils combinatoires provenant de la théorie des jeux. On terminera le chapitre par une présentation de la convexité asymptotique moyennée sur laquelle on amènera quelques nouvelles observations.Le deuxième chapitre est consacré à la géométrie non-linéaire. On introduira brièvement toutes les notions de base de la théorie, et en particulier les diverses notions de plongements métriques dont nous aurons l'usage. Le résultat principal de ce chapitre est l'extension d'un résultat dû à Baudier, Kalton et Lancien concernant le non-plongement de la famille (T_N) des arbres hyperboliques à branchements dénombrables dans le contexte des espaces réflexifs au contexte plus général des espaces quasi-réflexifs. On présentera ensuite une extension d'un résultat de plongement dû à Baudier et ses co-auteurs des graphes diamants à branchements dénombrables dans le contexte des espaces réflexifs qui possèdent une structure asymptotique spécifique au contexte des espaces duaux pour lesquels une condition similaire sur la structure asymptotique préfailbe est vérifiée. On terminera le chapitre par quelques commentaires sur les modèles étalés des espaces de Banach et leur application en théorie linéaire et non-linéaire, et on établira quelques liens avec l'indice de Szlenk et le plongement de certaines familles de graphes.Le troisième chapitre est dédié à la géométrie isométrique, et plus particulièrement à l'étude des points de Daugavet et des points Delta d'un espace de Banach. On se focalisera plus spécifiquement sur l'influence de la géométrie asymptotique d'un espace de Banach sur l'existence de tels points. Les résultats principaux de cette étude sont qu'aucun espace asymptotiquement uniformément lisse et qu'aucun espace réflexif asymptotiquement uniformément convexe ne peut contenir de point Delta, et qu'aucun dual préfaiblement asymptotiquement uniformément convexe de peut contenir de point de Daugavet. On produira également des versions locales de ces résultats. On s'intéressera aussi à la question de l'existence de ces points dans les espaces super-réflexifs et on produira un critère qui garantit leur existence dans tout ultrapuissance d'un espace donné dans ce contexte. Finalement on montrera que l'espace de James JT construit sur un arbre dyadique n'admet pas de point Delta.En appendice, on introduira brièvement l'indice ell_1^+ faible dû à Alspach, Judd et Odell, et on utilisera cet indice pour prouver la détermination séparable de l'indice de Szlenk par quotients dans le cadre des espaces dits "weakly compactly generated".