Infinite Horizon Control Problems under State Constraints and Hamilton-Jacobi-Bellman equations

Problèmes de contrôle à l’horizon infini soumis à des contraintes d’état et équations de Hamilton-Jacobi-Bellman Dans cette thèse, nous abordons des problèmes de contrôle optimal non autonomes à l’horizon infini soumis à des contraintes d’état. Des relations de sensibilité, partielle et totale, sont obtenues, en supposant que la fonction valeur associée soit localement Lipschitzienne par rapport à la variable d’état. Nous discutons également des conditions suffisantes pour la régularité Lipschitz de la fonction valeur. Nous nous concentrons sur les problèmes liés aux fonctions de coût admettant un facteur d’actualisation, avec la dynamique et le Lagrangien dépendant du temps. De plus, les contraintes d’état peuvent être non-bornés et peuvent avoir une frontière non lisse. La régularité Lipschitz est obtenue à partir d’estimations sur la distance d’une trajectoire donnée de l’ensemble de toutes les trajectoires viables, à condition que le taux d’actualisation soit suffisamment élevé. Nous étudions également l’existence et l’unicité des solutions faibles des équations non autonomes d’Hamilton-Jacobi-Bellman sur un domaine de la forme (0, ∞)×A. L’Hamiltonien est supposé être uniquement mesurable par rapport au temps et l’ensemble A est fermé. En présence de contraintes d’état, (en général) l’équation d’Hamilton-Jacobi-Bellman n’admet pas de solutions continues. Dans ce travail, nous proposons une notion de solution faible pour laquelle, sous une hypothèse de contrôlabilité appropriée, les théorèmes d’existence et d’unicité sont valides dans la classe des fonctions semi-continues inférieurement s’annulant à l’infini. Enfin, nous étudions une équation autonome d’Hamilton-Jacobi-Bellman sur un sous-ensemble compact, avec des conditions de Dirichlet sur la frontière. Dans ce contexte, nous obtenons des résultats de semi-concavité de l’unique solution de l’équation et les relations de sensibilité sous la forme d’inclusions différentielles. Nous étendons ainsi un résultat connu pour la distance sous-Riemannienne sous la condition d’Hörmander.