Οptimal cοntrοl prοblems and Ηamiltοn-Jacοbi-Bellman equatiοns in sοme curved metric spaces

Problèmes de contrôle optimal et équations de Hamilton-Jacobi-Bellman dans certains espaces courbes Cette thèse est dédiée aux problèmes de contrôle dans certains espaces non vectoriels, avec pour objectif d'en étendre le lien avec les équations de Hamilton-Jacobi-Bellman prises au sens de viscosité. Le choix des espaces considérés est guidé par le contrôle de populations évoluant sur un réseau routier. Dans un premier temps, nous considérons le cas d'un seul conducteur, pour reporter toute la difficulté sur l'irrégularité de l'espace ambiant. Nous proposons un cadre de résolution des problèmes de contrôle avec dynamique Cauchy-Lipschitz sur les espaces de type CAT(0), via lequel il est possible de donner des conditions suffisantes pour l'existence d'un contrôle optimal, et de caractériser la fonction valeur via une équation de Hamilton-Jacobi-Bellman. Dans un second temps, nous considérons cette fois une mesure de probabilité représentant une population de conducteurs sur un espace euclidien. Nous donnons un principe de comparaison applicable à des équations posées sur les mesures ; les arguments utilisés se transposent au cas plus général d'espaces à courbure bornée inférieurement au sens d'Alexandrov, et les résultats sont formulés dans ce cadre. Une troisième partie vient joindre les deux premières en s'intéressant au cas d'une mesure évoluant sur un réseau. Ce type d'espace n'est pas courbe, et les résultats des premiers chapitres ne s'y appliquent pas. Nous prouvons que le carré de la distance de Wasserstein est différentiable au sens directionnel, ce qui permet de généraliser la formulation au sens de viscosité des équations de Hamilton-Jacobi-Bellman des chapitres précédents. Enfin, une dernière partie développe certains résultats techniques nécessaires à l'emploi des équations de continuité dans la formulation des problèmes de contrôle, et plus généralement quelques résultats sur la géométrie induite par le transport optimal.