Modélisation microscopique et macroscopique du trafic routier

Cette thèse porte sur la modélisation des équations d'Hamilton-Jacobi, locales et non locales, et leurs applications en trafic routier. On considère dans ce travail des équations d'Hamilton-Jacobi périodiques et stochastiques données à deux échelles différentes : microscopique et macroscopique. À l'échelle microscopique, on décrit la vitesse de chaque véhicule individuellement alors qu'à l'échelle macroscopique, on décrit le trafic en termes de densité. D'un point de vue modélisation, le cadre périodique signifie que tous les véhicules sont identiques. Cette hypothèse permet d'obtenir des résultats très intéressants et de justifier des modèles macroscopiques mais elle n'est pas très réaliste. Contrairement au cadre périodique, nous étudions également le cadre stochastique dans lequel le type de conducteurs est reparti de façon aléatoire. Dans ce travail, nous utilisons la théorie des solutions de viscosité et nous dérivons des modèles macroscopiques à partir de problèmes microscopiques. Nous présentons des résultats d'homogénéisation précisée des équations d'Hamilton-Jacobi périodiques et stochastiques, de premier ordre posées sur une jonction. La première partie de ce travail contient un résultat d'homogénéisation périodique d'une équation d'Hamilton-Jacobi posée sur une jonction. Dans la deuxième partie, nous démontrons un résultat d'homogénéisation stochastique précisée des équations de Hamilton-Jacobi posées sur la ligne réelle avec une jonction à l'origine. La difficulté principale et la nouveauté de ce travail vient du fait que l'hamiltonien n'est pas stationnaire ergodique. Enfin, dans la dernière partie, nous proposons un modèle du type Hamilton-Jacobi non local pour le trafic routier et nous prouvons l'existence et l'unicité de la solution de ce modèle. Nous proposons également un schéma numérique et nous prouvons une estimation d’erreur entre la solution continue de ce problème et la solution numérique.