Polynômes, facteurs premiers et chiffres

L'objectif de ce projet de thèse est l'étude des propriétés arithmétiques et celle des chiffres des valeurs polynomiales pour un polynôme P à valeurs entières donné. Le sujet se décompose en deux volets. Le premier volet se trouve autour de la question suivante : existe-t-il une infinité d'entiers tels que P(n) soit un nombre premier ? Le problème est toujours ouvert pour des polynômes de degré supérieur à 2. Une voie d'approche, initiée par Tchébychev, est de déterminer des valeurs de P(n) avec un grand facteur premier. Heath-Brown a montré qu'il existait une proportion positive d'entiers n tels que n^3+2 ait un facteur premier supérieur à n^{1+c} avec une constante explicite et absolue c>0. Ce résultat est vraisemblablement valable pour d'autres polynômes cubiques. Le premier problème proposé dans ce projet de thèse est de vérifier si le polynôme X^3+2 peut être remplacé par un polynôme unitaire et irréductible de degré 3 général et, le cas échéant, de déterminer les contraintes sur le groupe de Galois associé à ce polynôme. Le deuxième volet du projet de thèse est dédié à la question de la répartition des chiffres des valeurs polynomiales quand les bases des systèmes de numération sont distinctes. Etant donnés deux polynômes distincts, la fonction sommes de chiffres (parmi d'autres exemples de fonctions digitales) en deux bases différentes est-elle équirépartie dans les progressions arithmétiques ? Des résultats généraux sont connus uniquement dans le cas d'une seule base : pour les polynômes de degré 1 et 2, et plus généralement pour des polynômes de degré arbitraire si la base est suffisamment grande. L'objectif de ce deuxième volet est d'étudier les contraintes et les différentes régions de validité relatives à cette question.