A unification for the ADO and colored Jones polynomials of a knot

Unification des invariants ADO et Jones colorés pour les noeuds Le but de cette thèse réside dans l'étude et l'unification des invariants ADO et Jones colorés pour les nœuds. Ces derniers sont une famille de polynômes très étudiée et déjà unifiée par Habiro. Ils sont au coeur de multiples constructions (invariants de 3 variétés, TQFT semi simples, ...). Les polynômes ADO, plus récent, présentent un grand intérêt dans l'étude des invariants de 3 variétés et TQFT non semi simples. Ce travail va permettre de construire un invariant unifiant ces deux familles de polynômes dans le cas des noeuds, de montrer qu'elles sont en réalité équivalentes, et permettre de transférer des propriétés connues des polynômes de Jones colorés aux ADO. On peut notamment mettre en lumière des propriétés d'holonomie et de développement en invariants de type fini. On montre d'abord comment construire un élément unifiant les ADO en analysant leurs différences. On a besoin pour cela de complétions d'anneaux à la Habiro afin de permettre une évaluation aux racines de l'unité. Ensuite, il faut montrer que c'est un invariant de nœuds, pour cela, il suffit d'utiliser l'invariant universel quantique et un module de Verma. On peut alors faire le parallèle puis s'appuyer sur les travaux d'Habiro afin de montrer que ce nouvel invariant unifie aussi les polynômes de Jones colorés. De manière plus forte, on peut alors montrer que l'invariant unifié est déterminé par les polynômes de Jones. Cette unicité va nous permettre de déduire tout un tas de propriétés sur les polynômes ADO. Une première propriété va être l'holonomie des ADO, c'est à dire l'existence d'un polynôme d'opérateur, le A polynôme quantique, annulant chaque polynôme ADO. Une autre propriété intéressante est le développement en série dont les coefficients sont des invariants de types finis topologiques. Enfin, l'approche par les représentations de tresses va permettre d'ouvrir la voie à une interprétation homologique des invariants. Le cas des entrelacs sera abordé afin de montrer les difficultés de l'unification et les résultats partiels obtenus.