Contrôle stochastique de type champ moyen en horizon infini et approximation numérique des équations différentielles stochastiques rétrogrades en horizon infini

Dans la première partie de la thèse, nous étudions un problème de contrôle stochastique de type champ moyen en horizon infini où la fonction de coût dépend de la loi du processus d'état. Nous prouvons les conditions nécessaires et suffisantes d'optimalité qui exigent la L-différentiabilité et la L-convexité dans l'espace des mesures pour la fonction de coût instantanée. Ensuite, nous commençons par une application en optimisation de portefeuille du problème de contrôle de type champ moyen en horizon infini. L'objectif est de surperformer une allocation statique dans un portefeuille investi en actions et en actif sans risque en s'appuyant sur une allocation dynamique, en utilisant la vitesse de traitement des actifs comme contrôle avec un critère de minimisation du risque baissier de type champ moyen. Nous avons prouvé les conditions d'optimalité pour le problème de contrôle et établi l'existence et l'unicité de la solution du système couplé d'équations différentielles stochastiques progressives-rétrogrades de type McKean-Vlasov. Nous avons également développé un schéma numérique basé sur les réseaux de neurones pour résoudre une version tronquée dans le temps du problème et fourni des bornes exponentielles pour l'erreur de troncature. Les expériences numériques suggèrent qu'augmenter le multiplicateur du terme de champ moyen incline avec succès la distribution de richesse vers la droite, augmentant ainsi la probabilité d'obtenir une richesse relative plus élevée.Dans une seconde partie, nous étudions l'approximation numérique des équations différentielles stochastiques rétrogrades en horizon infini. Nous avons développé trois schémas numériques. Le premier schéma est basé sur une itération de Picard et utilise une approximation spatiale par grille. Le deuxième schéma est également basé sur un schéma de Picard mais utilise des réseaux de neurones. Le troisième schéma n'est pas basé sur une itération de Picard et repose sur des réseaux de neurones. Nous fournissons également une étude détaillée de l'erreur numérique pour le premier schéma et prouvons des bornes fines sur l'erreur d'approximation, nécessitant des hypothèses supplémentaires pour la contraction. Pour le deuxième schéma, nous prouvons la convergence de l'erreur d'approximation vers zéro lorsque la taille du réseau de neurones augmente. Les expérimentations numériques suggèrent que le troisième schéma est plus performant que les deux premiers lorsque la contraction n'est plus satisfaite.