Cycles and paths in digraphs, monomial ideals and integer partitions

Cycles et chemins dans les digraphes, idéaux monomiaux et partitions des nombres entiers Dans cette thèse, nous travaillons dans deux directions, toutes deux concernent des problèmes de combinatoire. La première direction est liée à l'étude d'un invariant important des graphes orientés qui est le nombre chromatique. Plus précisément, nous nous intéressons à l'étude de l'existence de certains chemins et cycles orientés dans les digraphes à nombres chromatiques bornés. La deuxième direction concerne l'étude des identités des partitions des nombres entiers à l'aide d'outils algébriques et combinatoires. Deux identités de partitions parmi les plus célèbres ont été trouvées par Rogers et Ramanujan ; nous prouvons des identités duales à celles de Rogers-Ramanujan. Ces nouvelles identités s'inspirent d'une correspondance entre trois types d'objets : un nouveau type de partitions, les idéaux monomiaux et certains graphes infinis. Dans cette direction, nous étudions également une famille d'idéaux en lien avec les espaces de jets du point double Spec K[x]/x^2 et déterminons les séries génératrices d'un certain type de partitions qui seraient en lien avec une version finie des identités Rogers-Ramanujan