Autour de l'algorithme du Langevin : extensions et applications

Cette thèse porte sur le problème de l'échantillonnage en grande dimension et est basée sur l'algorithme de Langevin non ajusté (ULA).Dans une première partie, nous proposons deux extensions d'ULA et fournissons des garanties de convergence précises pour ces algorithmes. ULA n'est pas applicable lorsque la distribution cible est à support compact; grâce à une régularisation de Moreau Yosida, il est néanmoins possible d'échantillonner à partir d'une distribution suffisamment proche de la distribution cible. ULA diverge lorsque les queues de la distribution cible sont trop fines; en renormalisant correctement le gradient, cette difficulté peut être surmontée.Dans une deuxième partie, nous donnons deux applications d'ULA. Nous fournissons un algorithme pour estimer les constantes de normalisation de densités log concaves à partir d'une suite de distributions dont la variance augmente graduellement. En comparant ULA avec la diffusion de Langevin, nous développons une nouvelle méthode de variables de contrôle basée sur la variance asymptotique de la diffusion de Langevin.Dans une troisième partie, nous analysons Stochastic Gradient Langevin Dynamics (SGLD), qui diffère de ULA seulement dans l'estimation stochastique du gradient. Nous montrons que SGLD, appliqué avec des paramètres habituels, peut être très éloigné de la distribution cible. Cependant, avec une technique appropriée de réduction de variance, son coût calcul peut être bien inférieur à celui d'ULA pour une précision similaire.