Groupoïdes et calcul fonctionnel holomorphe

Dans cette thèse, nous nous intéressons aux groupoïdes de Lie G pour lesquels la sous-algèbre des fonctions lisses à support compact sur G est stable par calcul fonctionnel holomorphe dans la C*-algèbre réduite. Le résultat principal de cette thèse est que la sous-algèbre des fonctions lisses à support compact est stable par calcul fonctionnel holomorphe si et seulement si G est une union croissante de groupoïdes compacts. Après quelques rappels généraux sur le calcul fonctionnel holomorphe et les groupoïdes, nous traitons successivement le cas des fonctions continues à support compact lorsque G est un groupoïde topologique localement compact et propre, le cas des actions de groupe compact sur une variété lisse en étudiant un opérateur différentiel elliptique défini à partir du flot géodésique, le cas des groupoïdes de Lie s-propres. Ce dernier cas nous permet de traiter le cas général des groupoïdes de Lie propres, qui sont localement Morita-équivalents à des groupoïdes s-propres, d’après le théorème de Zung. Dans le dernier chapitre, nous définissons les groupoïdes L-propres et démontrons qu’il s’agit des groupoïdes de Lie pour lesquels la sous-algèbre des fonctions lisses à support compact sur G est stable par calcul fonctionnel holomorphe dans la C*-algèbre réduite.