Groupoïdes sous inductifs

Cet article est consacré à l’étude des groupoïdes munis de structures d’ordre, d’une façon précise des groupoïdes sous-préinductifs et sous-inductifs. Un rôle important est joué par l’axiome de distributivité ; si celui-ci est vérifié, on a les notions de groupoïde sous-prélocal et sous-local. Après une brève analyse des notions de pseudomultiplication et de sous-pseudogroupes, le problème essentiel est la construction de nouveaux groupoïdes de même espèce, à partir d’un groupoïde donné et, plus particulièrement, le plongement d’un groupoïde sous-préinductif dans un groupoïde sous-inductif. À tout groupoïde sous-préinductif S est associé le groupoïde sous-inductif des atlas faibles complets, dont la relation d’ordre généralise la relation d’ordre entre topologies : T ′ < T si T ′ est la topologie induite par T sur un ouvert de T . À un groupoïde sous-prélocal correspond le groupoïde sous-préinductif des atlas faibles complets propres muni d’une relation d’ordre généralisant la relation entre topologies : T ′ < T si T ′ est la topologie induite par T sur un sous-ensemble. Ces groupoïdes admettent pour groupoïdes quotient les groupoïdes sous-inductifs et sous-préinductifs des atlas complets et des atlas complets propres. Si S est prélocal, on construit des sous-groupoïdes locaux du groupoïde A ( S ) des atlas complets qui résolvent le problème de la complétion de S . Enfin on étudie le groupoïde des filtres associé à S , qui est aussi un groupoïde quotient d’un sous-groupoïde de A ( S ) .