Non-archimedean aspects of the SYZ conjecture

Aspects non-archimédiens de la conjecture SYZ Nous définissons une classe de métriques plurisousharmoniques sur l’espace hybride X^hyb associé à une dégénérescence polarisée (X,L) de variétés complexes. Une telle métrique hybride induit une métrique psh sur L au sens usuel, ainsi qu’une métrique psh sur l’analytification non-archimédienne X^an de X par rapport à la valeur absolue t-adique sur C((t)).Nous démontrons que toute métrique plurisousharmonique complexe sur (X, L) admet une extension canonique à l’espace hybride X^hyb. Nousétudions en particulier le cas où (Z, L) est une variété torique polarisée, où nous donnons une description combinatoire des métriques toriques hybrides continues psh sur L.Nous étudions ensuite les dégénérescences maximales X/D∗ de variétés de Calabi-Yau, dans le but de produire une incarnation non-archimédienne rho : X^an → Sk(X)de la fibration SYZ conjecturale. Pour ce faire, nous tentons dans un premier tempsde comprendre la structure affine entière induite sur le squelette Sk(X) par la ré-traction de Berkovich rho_X associée à un bon R-modèle dlt de X. Cela nous permet de construire, dans le cas des dégénérescences d’hypersurfaces, une fibration SYZ non-archimédienne induisant sur Sk(X) la structure affine entière prédite par le programme de Gross-Siebert.Lorsque la famille est celle des hypersurfaces de Fermat, nous montrons en outre que la métrique de Calabi-Yau non-archimédienne est invariante par cette rétraction.Enfin, nous considérons une dégénérescence de variétés canoniquement polarisées et calculons la limite non-archimédienne de la famille des métriques de Kähler-Einstein dans l’espace hybride associé.