Oriented paths in digraphs and the S-packing coloring of subcubic graph

Chemins orientés dans les graphes orientés et coloration S-packing des graphes subcubiques Cette thèse de doctorat est divisée en deux parties principales: La partie I explore l'existence de chemins orientés dans les digraphes, cherchant à établir un lien entre le nombre chromatique d'un digraphe et l'existence de chemins orientés spécifiques en tant que sous-digraphes. Les digraphes contenus dans n'importe quel digraphe n-chromatique sont appelés n-universels. Nous examinons deux conjectures : la conjecture de Burr, qui affirme que chaque arbre orienté d'ordre n est (2n-2)-universel, et la conjecture d'El Sahili, qui déclare que chaque chemin orienté d'ordre n est n-universel. Pour les chemins orientés en général, la meilleure borne est donnée par Burr, à savoir que chaque chemin orienté d'ordre n est (n - 1)²-universel.Notre objectif est d'étudier des chemins à trois blocs. Pour atteindre nos objectifs, nous nous appuyons fortement sur des concepts fondamentaux, y compris l'induction sur l'ordre d'un digraphe donné, les forêts finales, les techniques de nivellement et les méthodes de décomposition stratégique de digraphes. Un chemin comportant trois blocs est désigné par P(k1, k2, k3). Pour le chemin P(k,1,l), nous avons confirmé la conjecture d'El Sahili dans les digraphes Hamiltoniens. En se basant sur ce résultat pour les digraphes Hamiltoniens, nous avons confirmé la conjecture d'El Sahili pour une classe plus générale de digraphes, ceux qui incluent un chemin dirigé hamiltonien. Nous introduisons une technique novatrice : une décomposition du digraphe en sous-digraphes résultant d'une série d'opérations basées sur le fameux théorème de Roy, qui garantit l'existence d'un chemin orienté dirigé d'ordre n dans tout digraphe n-chromatique. Cette technique s'est avérée cruciale pour établir de nouvelles bornes linéaires pour le nombre chromatique de digraphes qui ne comportent pas de chemin orienté avec trois blocs. En effet, en utilisant cette technique, nous avons prouvé que le chemin P(k,1,l) satisfait la conjecture de Burr. De plus, pour n'importe quel chemin à trois blocs, P(k,l,r), nous avons établi une borne linéaire pour le nombre chromatique qui améliore toutes les bornes précédemment atteintes. Dans la partie II, nous étudions le problème de la coloration de packing dans les graphes. Étant donnée une séquence non décroissante S = (s1, s2, . . . , sk) d'entiers positifs, une S-coloration (de packing) d'un graphe G est une partition de l'ensemble des sommets de G en k sous-ensembles {V1, V2, . . . , Vk} tels que pour chaque 1 ≤ i ≤ k, la distance entre deux sommets distincts u et v dans Vi est d'au moins si + 1. Notre attention est centrée sur une conjecture intrigante proposée par Brešar et al., qui affirme que l'arête subdivision de n'importe quel graphe subcubique admet une (1,2,3,4,5)-coloration de packing. Notre objectif est de confirmer cette conjecture pour des classes spécifiques de graphes subcubiques et de traiter les questions non résolues soulevées dans ce domaine. Une observation de Gastineau et Togni indique que si un graphe G est (1, 1, 2, 2)-colorable, alors son graphe subdivisé S(G) est (1,2,3,4,5)-colorable, et donc il satisfait la conjecture. En nous basant sur cette observation et afin de prouver la véracité de la conjecture pour la classe des graphes de Halin cubiques, nous avons étudié leur S-coloration de packing visant à prouver qu'ils admettent une coloration en (1, 1, 2, 2). Nous avons prouvé que tout graphe de Halin cubique est (1, 1, 2, 3)-colorable, et donc (1, 1, 2, 2)-colorable, et ainsi nous confirmons la conjecture pour cette classe. De plus, Gastineau et Togni, après avoir prouvé que chaque graphe subcubique est (1, 2, 2, 2, 2, 2, 2)-colorable, ont posé un problème ouvert sur le fait de savoir si chaque graphe subcubique est (1, 2, 2, 2, 2, 2)-colorable. Nous répondons affirmativement à cette question dans la classe particulière sur laquelle nous avons travaillé : nous avons prouvé que les graphes d'Halin cubiques sont (1, 2, 2, 2, 2, 2)-colorables.