Ruptures, singularités : détection et estimation

Cette thèse regroupe quelques travaux concernant des problèmes de rupture pour des processus stochastiques. Dans la première partie, nous nous intéressons au problème d'estimation, à partir de [dollar]n[dollar] observations indépendantes d'un processus de Poisson non-homogène, de la position de ce que nous appelons une rupture lisse (un endroit où la fonction d'intensité du processus passe d'un niveau à un autre d'une manière continue, mais sur un intervalle tellement petit, que sa longueur [dollar]delta_n[dollar] peut être considérée comme convergeant vers~[dollar]0[dollar]). Nous montrons que dans le cas où [dollar]delta_n[dollar] converge vers [dollar]0[dollar] moins vite que [dollar]1/n[dollar] (cas lent), notre modèle est localement asymptotiquement normal (avec une vitesse non standard), et que dans le cas où [dollar]delta_n[dollar] converge vers [dollar]0[dollar] plus vite que [dollar]1/n[dollar] (cas rapide), notre modèle est non régulier et se comporte comme un modèle de rupture classique. Tous ces résultats sont obtenus en utilisant la méthode d'analyse de rapport de vraisemblance de Ibragimov et Khasminskii, qui garantit également la convergence des moments des estimateurs considérés. Par contre, pour pouvoir appliquer cette méthode dans le cas rapide, nous avons dû d'abord l'adapter à la topologie [dollar]M_1[dollar] sur l'espace de Skorokhod des fonctions càdlàg, ainsi que développer quelques outils pour l'étude de convergence des fonctions dans cette topologie. La deuxième partie de la thèse traite de la détection de rupture dans la régularité höldérienne. Nous étudions la détection de rupture épidémique dans la régularité d'un [dollar]n[dollar]-échantillon de fonctions aléatoires i.i.d. de régularité höldérienne globale [dollar]alpha[dollar] sous l'hypothèse nulle. Sous l'hypothèse alternative, un segment d'échantillon de localisation et de longueur [dollar]l^star<n[dollar] inconnues subit une diminution de la régularité höldérienne à l'exposant [dollar]beta<alpha[dollar]. Nous utilisons ici une statistique de type CUSUM à pondération höldérienne d'exposant [dollar]0<gamma<1/2[dollar] construite sur les normes [dollar]alpha[dollar]-höldériennes d'interpolations affines des fonctions aléatoires observées. Le choix de [dollar]gamma[dollar], contraint par le degré d'intégrabilité des fonctions aléatoires, permet la détection de très courtes ruptures, typiquement avec [dollar]l^star[dollar] de l'ordre de [dollar]n^delta[dollar] où [dollar]delta[dollar] tend vers [dollar]0[dollar] quand [dollar]gamma[dollar] tend vers [dollar]1/2[dollar]. Nous réinvestissons ensuite cette technique dans l'étude de la rupture de régularité höldérienne d'une seule fonction aléatoire [dollar]xi[dollar] à trajectoires continues et accroissements indépendants et de carré intégrable. Ce problème se ramène à la détection de rupture épidémique pour le og paramètrefg fonctionnel [dollar]f[dollar] dans le modèle [dollar]xi(t) = W(f(t)) [dollar], [dollar]tin[0,1] [dollar], où [dollar]W[dollar] est un mouvement brownien standard et [dollar]f[dollar] une fonction continue croissante. On aboutit ainsi à un problème de rupture épidémique dans la variance des accroissements de pas [dollar]1/n[dollar] de [dollar]xi[dollar], et l'utilisation d'une statistique CUSUM à pondération höldérienne généralisée nous permet de détecter une très courte rupture. Tous ces résultats sont obtenus en utilisant le principe d'invariance höldérien.