Analytical description of linear physical response functions with the singularity expansion method

Description analytique des fonctions de réponses physiques linéaires avec la méthode du développement en singularités Les dynamiques temporelles des systèmes physiques linéaires sont décrites par des fonctions de réponse ou de transfert dans le domaine harmonique. La caractérisation de ces fonctions de la fréquence est cruciale puisqu’elle permet de comprendre les interactions entre signaux excitateurs et systèmes, pour contrôler la réponse spectrale avec, par exemple, des résonances particulières, et concevoir des systèmes présentant des réponses bien définies. La méthode du développement en singularités part d’observations physiques, à savoir la réponse de résonateurs à des champs électriques excitateurs sinusoïdaux, pour offrir une description analytique des fonctions de réponse dans le domaine harmonique. Ce manuscrit de thèse a pour point de départ cette méthode, et entend démontrer, généraliser et exploiter le développement en singularités. En partant des propriétés fondamentales, et par conséquent peu restrictives, des systèmes et fonctions de réponse ou transfert rencontrés en physique, une expression exacte est obtenue avec la méthode du développement généralisé en singularités d’ordres multiples. Cette description naturelle de ces fonctions méromorphes repose sur leur ensemble discret de fréquences complexes appelées singularités, ainsi qu’un terme non résonnant rendant compte du comportement à haute fréquence. Une forme alternative, la factorisation en singularités et zéros, est également présentée, ainsi que le comportement dans le domaine temporel obtenu par transformation de Laplace inverse des expressions obtenues. Bien que discret, l’ensemble des singularités, ou pôles, peut être infini. L’utilisation pratique du développement en singularités nécessite donc de montrer la précision des expressions tronquées, avec des nombres finis de pôles, ainsi que leur convergence. Cette étude est abordée dans un second temps dans le cas d’un système pour lequel des modèles analytiques existent : la cavité de Fabry-Perrot. D’abord dans le cas d’un slab diélectrique à indice de réfraction constant, puis dans le cas d’une fine couche d’or présentant de la dispersion et de l’absorption. La méthode ainsi démontrée et testée avec un système maîtrisé, elle est ensuite utilisée dans le cas de la permittivité relative de différents matériaux. Cette fonction apparaissant comme une fonction de transfert dans les relations constitutives des équations de Maxwell, il est possible de lui appliquer un développement en singularités. Nous montrons que ce développement, qui résulte d’observations à l’échelle macroscopique, englobe et généralise les modèles microscopiques classiques de Lorentz, Drude et Debye utilisés pour décrire la permittivité diélectrique. Dans un chapitre dédié, nous nous intéressons à la caractérisation des phénomènes de résonance en exploitant le développement en singularités et la factorisation en singularités et zéros. En remarquant que les termes résonnants associés aux pôles sont des transformations de Möbius transformant l’axe des fréquences réelles en cercles dans le plan complexe, nous décrivons les résonances comme des perturbations dues à la présence des pôles et zéros. La contribution de ces derniers est quantifiée par une fonction de qualité que nous introduisons, pour toute forme de réponse spectrale, à toute fréquence. Calculée à partir de la phase des signaux, cette fonction généralise le facteur de qualité classique. Enfin, nous présentons deux méthodes permettant de déterminer les pôles, résidus (coefficients de Laurent des pôles simples généralement rencontrés) et zéros complexes dans le domaine harmonique à partir de données simulées ou mesurées à des fréquences réelles. Les deux approches, basées sur l’auto-différentiation et la méthode de Cauchy, sont ensuite étudiées pour distinguer les pôles naturels, qui rendent compte de la physique des systèmes, des pôles effectifs, qui servent principalement à obtenir de bonnes approximations aux fréquences réelles