Etude mathématique de modèles de fluides non homogènes et de mélanges de fluides homogènes

Nous nous intéressons à l'analyse mathématique de modèles de fluides inhomogènes et de mélanges. Le manuscrit comporte trois parties. Dans la première partie, nous cherchons à démontrer l'existence globale et l'unicité des solutions du système de Navier-Stokes incompressible inhomogène dans le cas où la densité initiale est discontinue et la vitesse initiale a une régularité critique. En supposant que est proche d'une constante positive, nous obtenons l'existence et l'unicité globales dans le cas bidimensionnel lorsque la vitesse initiale appartient à l'espace de Besov homogène critique et, dans le cas tridimensionnel, si la vitesse initiale est petit dans l'espace de Besov homogène critique. Ensuite, toujours dans un cadre fonctionnel critique, nous établissons un énoncé d'unicité qui est valable dans le cas de grandes variations de la densité avec, éventuellement, du vide. Ce résultat implique entre autres que les solutions de type Fujita-Kato construites par P. Zhang dans (Adv.Math (2019)) sont uniques. Notre travail s'appuie sur des résultats d'interpolation, des estimations à poids en temps et des estimations de régularité maximale dans les espaces de Lorentz (par rapport à la variable temps) pour le système de Stokes non stationnaire. Dans la deuxième partie, nous considérons le système de Navier-Stokes incompressible inhomogène (INS) et le système de Navier-Stokes compressible barotrope (CNS) dans un tore à deux ou trois dimensions. Sous l'hypothèse que la densité initiale est seulement bornée et que la vitesse initiale est dans l'espace de Sobolev, des résultats d'existence globale ont été obtenus par R.Danchin et P.B. Mucha dans (CPAM, (2019)) pour (INS), et dans (CPAM, (2023)) pour (CNS) avec une viscosité volumique suffisamment grande. Dans le cas bidimensionnel, ces résultats ne requièrent aucune condition de petitesse et, dans le cas tridimensionnel, la petitesse n'est requise que pour la vitesse initiale. Ici, nous montrons que les solutions construites dans (CPAM, (2023)) ont une décroissance exponentielle par rapport à la variable de temps. Dans la dernière partie du manuscrit, nous utilisons la propriété de régularité maximale dans l'espace de Lorentz évoquée plus haut pour établir divers résultats d'existence locaux ou globaux pour les systèmes (incompressibles) de Navier-Stokes-Korteweg et de Kazhikhov-Smagulov.