Modélisation et étude mathématique d'une infection épidémiologique dans une communauté écologique et au sein d'une population en commutation

Les travaux présentés dans cette thèse s'inscrivent dans le cadre de la modélisation et de l'analyse mathématique d'une maladie infectieuse au sein d'une communauté écologique, ainsi que dans des populations en commutation, basées sur une approche originale de la mobilité des individus. Le cadre théorique mathématique que nous adoptons pour la mise en place de nos modèles repose sur des systèmes d'équations différentielles ordinaires et des systèmes non linéaires à commutation. Nous avons structuré notre travail en deux grandes parties. La première partie est consacrée à l'analyse mathématique et à la simulation numérique des modèles éco-épidémiologiques. L'objectif principal est d'étudier les effets de certains paramètres biologiques sur la dynamique d'espèces en interaction, soumises à une maladie infectieuse ou non, dans un écosystème. À cette fin, nous proposons des systèmes écologiques suivant le modèle proie-prédateur, en présence ou non de maladies infectieuses. Nos modèles sont régis par une réponse fonctionnelle de type Holling II, qui modélise la stratégie de prédation. Une analyse mathématique approfondie des modèles permet d'établir les critères d'existence, de positivité et de bornage des solutions. L'étude de la stabilité des états d'équilibre est réalisée principalement à l'aide des critères de Routh-Hurwitz, du théorème de Poincaré-Bendixson, du critère de Dulac, ainsi que par la construction de fonctions de Lyapunov appropriées, combinée avec le principe d'invariance de LaSalle. Des simulations numériques ont été effectuées pour mettre en évidence l'effet de ces paramètres biologiques sur la dynamique des espèces en interaction et l'apparition de cycles limites. Dans la deuxième partie de notre thèse, nous nous intéressons à la modélisation et à l'analyse mathématique de la dynamique spatio-temporelle de la propagation épidémique à travers les commutations de différentes sous-populations, qui s'étendent sur plusieurs classes (localités). Nos modèles reposent sur des systèmes de mobilité des sous-populations, prenant diverses configurations, ce qui conduit à plusieurs approches de la modélisation spatiale : la formulation de modèles de populations partitionnées, c'est-à-dire des systèmes avec plusieurs sous-populations en contact stationnaire, ainsi que des modèles épidémiologiques de populations en commutation, où les schémas de contact évoluent au fil du temps.Le cadre mathématique que nous utilisons pour étudier le comportement des solutions particulières repose sur les techniques de Perron-Frobenius et de Metzler, ainsi que sur la théorie de Floquet. En nous inspirant du cadre d'analyse mathématique de P. van den Driessche et J. Watmough (2002), nous étudions l'existence des états d'équilibre et des points d'équilibre sans maladie, tout en calculant la valeur du nombre de reproduction de base R0. Nous démontrons ensuite que la stabilité des points d'équilibre sans maladie des modèles est gouvernée par R0.