Probabilistic methods for the analysis of algorithms on random tessellations

Méthodes probabilistes pour l'analyse des algorithmes sur les tesselations aléatoires Dans cette thèse, nous exploitons les outils de la théorie des probabilités et de la géométrie stochastique pour analyser des algorithmes opérant sur les tessellations. Ce travail est divisé entre deux thèmes principaux, le premier traite de la navigation dans une tessellation de Delaunay et dans son dual, le diagramme de Voronoï avec des implications pour les algorithmes de localisation spatiales et de routage dans les réseaux en ligne. Nous proposons deux nouveaux algorithmes de navigation dans la triangulation de Delaunay, que nous appelons Pivot Walk et Cone Walk. Pour Cone Walk, nous fournissons une analyse en moyenne détaillée avec des bornes explicites sur les propriétés de la pire marche possible effectuée par l'algorithme sur une triangulation de Delaunay aléatoire d'une région convexe bornée. C'est un progrès significatif car dans l'algorithme Cone Walk, les probabilités d'utiliser un triangle ou un autre au cours de la marche présentent des dépendances complexes, dépendances inexistantes dans d'autres marches. La deuxième partie de ce travail concerne l'étude des propriétés extrémales de tessellations aléatoires. En particulier, nous dérivons les premiers et derniers statistiques d'ordre pour les boules inscrites dans les cellules d'un arrangement de droites Poissonnien; ce résultat a des implications par exemple pour le hachage respectant la localité. Comme corollaire, nous montrons que les cellules minimisant l'aire sont des triangles.