Modélisation numérique de rubans par éléments en courbures

Les rubans constituent une structure mince intermédiaire entre les tiges et les coques. Ils servent à modéliser une large gamme d'objets réels à diverses échelles. Par exemple, à l'échelle nanoscopique on retrouve les protéines ou molécules d'ADN qui peuvent être représentées par des rubans. À l'échelle mésoscopique on retrouve les bandes de tissu ou de papier. Et à l'échelle macroscopique les rubans deviennent populaires en architecture, servant par exemple à réaliser des structures déployables. Si de nombreux modèles numériques ont été développés ces dernières décennies pour les tiges et les plaques, il en existe en revanche très peu qui soient spécifiques aux rubans. Dans cette thèse, nous proposons un modèle numérique robuste et efficace pour calculer les états d'équilibre stables d'un ruban naturellement plat ou courbé. Notre contribution se décompose en trois axes.Premièrement, l'établissement du modèle numérique s'appuie sur la description analytique de van der Heijden et Audoly. La discrétisation spatiale se base sur des éléments à courbure normale linéaire et torsion géodésique quadratique en l'abscisse curviligne, qui permettent une grande richesse de représentation cinématique tout en garantissant l'inextensibilité parfaite du ruban. Les équilibres stables sont calculés par minimisation des énergies de gravité et d'élasticité du ruban selon la formulation de Sadowsky ou de Wunderlich, sous contrainte de développabilité. Le ruban peut être encastré par une ou deux de ses extrémités. Aussi, le contact est géré entre le ruban et un ou plusieurs plans.Dans une seconde contribution, nous comparons notre modèle de ruban au modèle de tige des super-clothoïdes et au modèle de coques de Naghdi. Étant plus général, le modèle de coque donne les mêmes équilibres que ceux de notre modèle. Cependant, étant non spécifique, le modèle de coque prend plusieurs minutes pour converger vers l'équilibre, à comparer aux quelques secondes nécessaires à notre modèle. On valide ainsi ce dernier, tout en montrant son efficacité. De son côté, le modèle de tige avec une section plate ne parvient pas aux même résultats, montrant l'utilité d'un modèle de rubans.Enfin nous menons une série d'expériences, en particulier le calcul d'un ruban de Moebius pesant que l'on pose sur une table, l'expérience de Benoît Roman consistant à écraser un ruban entre deux plaques et une expérience de déversement latéral. Cela nous conduit finalement à discuter les limites de notre modèle réduit, tant au niveau des équations continues dont il s'inspire, que de leur discrétisation.