APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA: APLICAÇÃO DE ÁLGEBRA LINEAR NA MECÂNICA QUÂNTICA

A Álgebra Linear se constitui numa das principais disciplinas de formação de um matemático. Ao longo do tempo, seu ensino evoluiu bastante, passando de um paradigma que favorecia o formalismo para um modelo no qual prevalecem suas aplicações. O objetivo do presente trabalho é demonstrar quão frutífero é o processo de ensino-aprendizagem no contexto de interdisciplinaridade. Numa abordagem qualitativa, dentre os tópicos abordados na disciplina de Álgebra Linear, a presente investigação aborda o estudo de operadores, autovalores e autovetores. Tratam-se de elementos fortemente abordados na Física e, de modo fundamental, na Mecânica Quântica. A resolução da equação de Schrödinger envolve uma equação de autovalores, resultando na obtenção de autovetores associados, os quais, quando devidamente normalizados, representam os autoestados do sistema físico. Estados quânticos são descritos por autoestados, que nada mais são do que autovetores no espaço de Hilbert. Neste trabalho, utilizando operadores invariantes lineares, encontram-se autovalores e autovetores que resultam nas soluções exatas da equação de Schrödinger para o oscilador harmônico dependente do tempo de Caldirola-Kanai. Foi possível, com isso, a obtenção de resultados físicos, aplicando-se conceitos matemáticos, o que demonstra que, sempre que possível, é importante mostrar que, apesar do necessário formalismo, aspectos práticos da disciplina podem tornar mais fácil seu aprendizado. Na presente investigação, encontrou-se a solução da equação de Schrödinger em termos das soluções de uma equação diferencial de segunda ordem que descreve a amplitude de um oscilador harmônico dependente do tempo de Caldirola-Kanai. Foram também construídas soluções na forma de pacotes de onda Gaussianos. Essa abordagem permite uma análise mais clara e direta das propriedades físicas do sistema, posto que os estados de pacotes gaussianos são muito comuns e que os valores esperados das quantidades físicas nesses estados são, em princípio, facilmente calculáveis.